Question

14．已知点A，B的坐标分别为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{2}$，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），则由已知可得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由此能够导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）：设设P，Q，R点的坐标，由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，得出λ₁，λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的两个根，可得λ₁+λ₂=-4．

解答 （Ⅰ）解：设M（x，y），则由已知可得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
化简可得E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（x≠±$\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）证明：设P，Q，R点的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），
∵$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（1-x₁，-y₁）．
∴x₁=$\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
将P点坐标代入到椭圆方程中得：$\frac{1}{2}$（$\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，
去分母整理，得λ₁²+4λ₁+2-2y₀²=0．
同理，由$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，可得：λ₂²+4λ₂+2-2y₀²=0．
∴λ₁，λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-4．

点评 本题是椭圆性质的综合应用题，考查椭圆方程，考查向量知识的运用，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．