Question

已知函数f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′（x）＞1，求证：f（x）＜1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数即可求得函数的单调区间；
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等价于x²+x-1＜x+1-e^x，
先证：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），利用导数即可证得g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，变形即可证得结论成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R，
∴f′（x）=（2x+2）e^-x-（x²+2x）e^-x=（2-x²）e^-x，
∴由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，故f（x）在（-

2

，

2

）上是增函数，
由f′（x）＜0得x＜-

2

或x＞

2

，故f（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上是减函数．
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等价于x²+x-1＜x+1-e^x，
先证：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），有g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，
∴x²+x-1＜x+1-e^x≤0，
∴x²+x-1＜0，由此得x²+2x＜x+1，
∴x²+2x＜x+1≤e^x，
∴（x²+2x）e^-x＜1，
即f（x）＜1．

点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数最值问题，以及利用导数证明不等式成立问题，注意问题的转化划归，属中档题．