Question

如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）．
（1）当tan∠DEF=

3

2

时，求θ的大小；
（2）求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）在△BDE中，BD=1，B=60°，∠BED=120°-θ，利用正弦定理表示出DE，在△ADF中，利用正弦定理表示出DF，根据tan∠DEF的值，列表关系式，整理求出tanθ的值，即可确定出θ的大小；
（2）根据两直角边乘积的一半表示出三角形DEF面积S，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角间基本关系变形，由正弦函数的值域即可确定出S的最小值以及使得S取最小值时θ的值．

解答： 解：（1）在△BDE中，由正弦定理

DE

sin60°

=

BD

sin(120°-θ)

得：DE=

BDsin60°

sin(120°-θ)

=

3

2sin(60°+θ)

，
在△ADF中，由正弦定理

DF

sin60°

=

AD

sin(30°+θ)

得：DF=

ADsin60°

sin(30°+θ)

=

3

2sin(30°+θ)

，
∵tan∠DEF=

3

2

，
∴

sin(60°+θ)

sin(30°+θ)

=

3

2

，整理得：tanθ=

3

，
则θ=60°；
（2）S=

1

2

DE•DF=

3

8sin(60°+θ)sin(30°+θ)

=

3

2( 3 cosθ+sinθ)(cosθ+ 3 sinθ)

=

3

2[ 3 (cos2θ+sin2θ)+4sinθcosθ]

=

3

2( 3 +2sin2θ)

，
当θ=45°时，S取最小值

3

2( 3 +2)

=

6-3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．