题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调性并证明；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最大值．
| 2 |
| x2 |
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调性并证明；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最大值．
考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：本题（1）可以利用函数单调性定义加以证明，得到本题结论；（2）利用已证明的函数单调性，可得到函数的值域，从而得到函数最大值，得到本题结论．
解答：
解：（1）结论：函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减，以下证明．
证明：在区间（0，+∞）内任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=
-
=
=
，
∵0＜x1＜x2，
∴x1+x2＞0，x1-x2＜0，x12•x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1）．
∴函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减．
（2）由（1）知：函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减，
∴当x≥1时，f（x）≤f（1）=
=2．
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）的最大值为2．
证明：在区间（0，+∞）内任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=
| 2 |
| x22 |
| 2 |
| x12 |
| 2(x12-x22) |
| x12•x22 |
| 2(x1-x2)(x1+x2) |
| x12•x22 |
∵0＜x1＜x2，
∴x1+x2＞0，x1-x2＜0，x12•x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1）．
∴函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减．
（2）由（1）知：函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减，
∴当x≥1时，f（x）≤f（1）=
| 2 |
| 12 |
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）的最大值为2．
点评：本题考查了函数的单调性定义及其应用，本题难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
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相关题目
下列各组表示同意函数的是（ ）
| A、y=x-1（x∈R）与y=x-1（x∈N） | ||||||
B、y=
| ||||||
C、y=1+
| ||||||
D、y=x2与y=x
|
已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
| A、m?α，n?α，m∥β，n∥β⇒α∥β |
| B、α∥β，m?α，n∥β⇒m∥n |
| C、m⊥α，m⊥n⇒n∥α |
| D、m∥n，n⊥α⇒m⊥α |