Question

7．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），则下列说法正确的是（　　）

• A． 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则b=±1
• B． 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，则b=1
• C． 若b=-1，则函数f（x）是定义在R上的增函数
• D． 若b=-1，则函数f（x）是定义在R上的减函数

Answer 1

分析 由偶函数的定义，可得f（-x）=f（x），化简整理，可得b=0，即可判断A；
由奇函数的定义，可得f（-x）=-f（x），化简整理，可得b=±1，即可判断B；
若b=-1，由换元法和对数函数的单调性，复合函数的单调性，即可判断C，D．

解答 解：对于A，若函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得f（-x）=f（x），即为log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-bx）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），
即有$\sqrt{{x^2}+1}$-bx=$\sqrt{{x^2}+1}$+bx，解得b=0，故A错误；
对于B，若函数f（x）是定义在R上的奇函数，
可得f（-x）=-f（x），即为log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-bx）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），
即有$\sqrt{{x^2}+1}$-bx=（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx）^-1，即有x²+1-b²x²=1，
解得b=±1，故B错误；
对于C，若b=-1，则f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）^-1
=log₂（$\sqrt{{x^2}+1}$+x），由t=$\sqrt{{x^2}+1}$+x在x≥0递增，函数f（x）为奇函数，
可得f（x）在R上递增，故C正确，D错误．
故选：C．

点评 本题考查对数函数的单调性，函数的奇偶性的运用，注意运用定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．