Question

12．已知函数y=f（x）的定义域为R，且y=f（x+2）的函数图象关于x=-2对称，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}sin（\frac{π}{2}x）（0≤x≤1）}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1（x＞1）}\end{array}\right.$，若关于x的方程4f²（x）-（4a+5）f（x）+5a=0（a∈R），有且仅有6个不相同实数根，则实数a的取值范围．

Answer 1

分析 将y=f（x+2）的图象右移2个单位，可得y=f（x）的图象，可知图象关于y轴对称．作出函数y=f（x）的图象，由方程的解为f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=a．作出直线y=$\frac{5}{4}$或y=a．通过图象观察，即可得到所求a的范围．

解答 解：y=f（x+2）的函数图象关于x=-2对称，
将y=f（x+2）的图象右移2个单位，可得y=f（x）的图象，
可知图象关于y轴对称．
作出函数y=f（x）的图象，
关于x的方程4f²（x）-（4a+5）f（x）+5a=0，
即有f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=a．
y=f（x）和直线y=$\frac{5}{4}$的交点有4个，即f（x）=$\frac{5}{4}$的解的个数为4，由题意可得f（x）=a有两个解．
即y=f（x）和直线y=a有两个交点，
由图象可得a=$\frac{3}{2}$或0＜a≤1．
综上可得a的范围是（0，1]∪{$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查方程的根的分布情况，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．