Question

19．已知函数f（x）=|x-a|+|x-2a|．
（Ⅰ）对任意x∈R，不等式f（x）＞1成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，解不等式f（x）＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，且f（x）＞1对任意x∈R成立，可得|a|＞1，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，分类讨论，解不等式f（x）＜3．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，且f（x）＞1对任意x∈R成立，
∴|a|＞1，
∴a＞1或a＜-1．…（5分）
（Ⅱ）a=-1时，f（x）=|x+1|+|x+2|＜3，
x≥-1，2x+3＜3，
∴x＜0，
∴-1≤x＜0；
-2＜x＜-1，-x-1+x+2＜3，恒成立；
x≤-2，-x-1-x-2＜3，
∴x＞-3，
∴-3＜x≤-2
∴f（x）＜3的解集为（-3，0）．…（10分）

点评 对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．