Question

2．设函数f（x）=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{12-x}$的最大值M．
（1）求实数M的值；
（2）求关于x的不等式|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≤M的解集．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的基本性质求得f（x）的最大值，可得M的值．
（2）由绝对值三角不等式可得|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥3$\sqrt{2}$=M，结合题意可得本题即求|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|=M=3$\sqrt{2}$的解集，从而求得x的范围．

解答 解：（1）因为a，b＞0时，${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴$f（x）=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-x}≤2\sqrt{\frac{{（{x-3}）+（{12-x}）}}{2}}=3\sqrt{2}$，
当且仅当$x=\frac{15}{2}$时等号成立．
 故函数f（x）的最大值M为3$\sqrt{2}$．
（2）由绝对值三角不等式可得：|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥|x-$\sqrt{2}$-（x+2$\sqrt{2}$）|=3$\sqrt{2}$=M，
即|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥M，
当且仅当-2$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$时，取等号．
又不等式|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≤M，
∴只有|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|=M=3$\sqrt{2}$，
故要求的不等式的解集为{x|-2$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$ }．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．