Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，AB=BC=AA₁=3，线段AC、A₁B上分别有一点E、F且满足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）求点E到直线A₁B的距离；
（3）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，由已知条件推导出AD⊥平面A₁BC，由此能证明AB⊥BC．
（2）以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线A₁B的距离．
（3）分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，
且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC．
又∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥侧面A₁ABB₁，
又∵AB?侧面A₁ABB₁，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A₁（0，3，3）
∵线段AC、A₁B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA₁，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴

EF

=(-1，-1，1)，

BA1

=(0，3，3)．
∵

EF

•

BA1

=0，∴EF⊥BA₁，
∴点E到直线A₁B的距离d=|EF|=

3

．…（8分）
（3）解：

BE

=(1，2，0)，

BF

=(0，1，1)，
设平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BE =x+2y=0 n • BF =y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
由题意知平面BEC的法向量

m

=(0，0，1)，
设二面角F-BE-C的平面角为θ，
∵θ是钝角，∴cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-

1

6

=-

6

6

，
∴二面角F-BE-C的平面角的余弦值为-

6

6

．…（12分）

点评：本题考查异面直线的证明，考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．