Question

8．已知函数f（x）=e^x（x²-x+1）-m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是$（{1，\frac{3}{e}}）$．

Answer 1

分析 g（x）=e^x（x²-x+1），由函数的单调性求函数的极大值为$\frac{3}{e}$，极小值为1，再根据函数f（x）的图象和直线y=m有3个交点，数形结合，从而求得m的范围．

解答 解：?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．
说明函数f（x）有3个不同零点，即方程e^x（x²-x+1）-m=0有三个根．
即e^x（x²-x+1）=m有三个根．
令g（x）=e^x（x²-x+1），
g′（x）=（x²-x+1）•e^x+（2x-1）•e^x =x（x+1）•e^x，
由g′（x）＞0，得x＞0或x＜-1；
由g′（x）＜0，得-1＜x＜0．
∴g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递增，在（-1，0）上单调递减．
∴函数g（x）的极大值为f（-1）=$\frac{3}{e}$，极小值为f（0）=1．
由题意可得，函数g（x）的图象和直线y=m有3个交点，
如图所示：
故有：1＜m＜$\frac{3}{e}$，
故答案为：$（{1，\frac{3}{e}}）$．

点评 本题主要考查函数的零点个数的判断，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的极值，体现了数学转化思想方法和数形结合的数学思想方法，属于中档题．