Question

17．已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），D在直线BC上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，求点D的坐标；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （I）利用向量共线定理即可得出．
（II）利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设点D（x，y），则$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2）．
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x-3）=-6}\\{2（y-2）=-3}\end{array}\right.$，解得x=0，y=$\frac{1}{2}$．
∴点D的坐标为$（0，\frac{1}{2}）$．
（Ⅱ）设点D（x，y），∵AD⊥BC，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0
又∵C，B，D三点共线，∴$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{BD}$．
而$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6（x-2）-3（y-1）=0}\\{-6（y-2）+3（x-3）=0}\end{array}\right.$
解方程组，得x=$\frac{9}{5}$，y=$\frac{7}{5}$．
∴点D的坐标为$（\frac{9}{5}，\frac{7}{5}）$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．