Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M（x₀，y₀）到点N（2，0）距离的最小值为$\sqrt{3}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若x₀＞2，圆E（x-1）²+y²=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）${|{MN}|^2}=x_0^2-4{x_0}+4+2p{x_0}=x_0^2-2（{2-p}）{x_0}+4$=${[{{x_0}-（{2-p}）}]^2}+4-{（{2-p}）^2}$．
 可得2-p＞0即0＜p＜2时，${|{MN}|_{min}}=\sqrt{4-{{（{2-p}）}^2}}=\sqrt{3}$，可得p即可．
（2）由题意可知直线MA的方程为$y=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}x+a$，即（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0，
由直线与圆相切得：a²（x₀-2）+2ay₀-x₀=0，
同理：${b^2}（{{x_0}-2}）{x^2}+2b{y_0}x-{x_0}=0$，∴a，b为方程$（{{x_0}-2}）{x^2}+2{y_0}x-{x_0}=0$的两根，
即$S=\frac{1}{2}|{a-b}|•|{x_0}|=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}=\frac{x_0^2-4+4}{{{x_0}-2}}={x_0}+2+\frac{4}{{{x_0}-2}}$=${x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥8$，即可得△MAB面积的最小值．

解答 解：（1）$|{MN}|=\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{{（{{y_0}-0}）}^2}}$，∵$y_0^2=2p{x_0}$，
∴${|{MN}|^2}=x_0^2-4{x_0}+4+2p{x_0}=x_0^2-2（{2-p}）{x_0}+4$=${[{{x_0}-（{2-p}）}]^2}+4-{（{2-p}）^2}$．
∵x₀≥0，所以当2-p≤0即p≥2时，|MN|_min=2，不符合题意，舍去；
所以2-p＞0即0＜p＜2时，${|{MN}|_{min}}=\sqrt{4-{{（{2-p}）}^2}}=\sqrt{3}$，
∴（2-p）²=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y²=2x．
（2）由题意可知，${k_{MA}}=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}$，所以直线MA的方程为$y=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}x+a$，即（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0，
∴$1=\frac{{|{（{{y_0}-a}）+a{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{{y_0}-a}）}^2}+x_0^2}}}$，∴${（{{y_0}-a}）^2}+x_0^2={|{{y_0}-a+a{x_0}}|^2}$，整理得：a²（x₀-2）+2ay₀-x₀=0，
同理：${b^2}（{{x_0}-2}）{x^2}+2b{y_0}x-{x_0}=0$，∴a，b为方程$（{{x_0}-2}）{x^2}+2{y_0}x-{x_0}=0$的两根，
∴$a+b=-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$，∴$ab=-\frac{x_0}{{{x_0}-2}}$，∴$|{a-b}|=\sqrt{{{（{a+b}）}^2}-4ab}=\frac{{2|{x_0}|}}{{|{{x_0}-2}|}}$，
∵x₀＞2，∴$S=\frac{1}{2}|{a-b}|•|{x_0}|=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}=\frac{x_0^2-4+4}{{{x_0}-2}}={x_0}+2+\frac{4}{{{x_0}-2}}$=${x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥8$，当且仅当x₀=4时，取最小值．
∴当x₀=4时，△MAB面积的最小值为8．

点评 本题考查了抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系，三角形的面积，考查了运算能力、转化思想，属于中档题．