题目内容
19．设函数y=-x2+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．分析 设切点为P（（m，-m2+1），不妨设m＞0．
切线方程为：y-（-m2+1）=-2m（x-m），则|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m2+1，
则△OAB的面积s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
设f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），则f′（m）=3m2+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，为△OAB的面积的最小值
解答 解：设切点为P（（m，-m2+1），因为函数y=-x2+l的图象关于y轴对称，不妨设m＞0
∵y′=-2x，∴切线的斜率k=-2m
切线方程为：y-（-m2+1）=-2m（x-m），即2mx+y-m2-1=0
令x=0，则y=m2+1，令y=0，则x=$\frac{{m}^{2}+1}{2m}$
故|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m2+1，
则△OAB的面积s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
设f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），则f′（m）=3m2+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，则△OAB的面积的最小值为$\frac{1}{4}×\frac{16}{9}\sqrt{3}=\frac{4}{9}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数求最值，属于中档题．
| A． | 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” | |
| B． | 若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” | |
| C． | l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β | |
| D． | 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” |
