Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n+3．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂（a_n+1），记数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由数列递推式结合数列首项求得数列的前3项；
（Ⅱ）直接利用等比数列的定义结合数列递推式证明{a_n+1}是等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）把数列{a_n+1}的通项公式代入b_n=log₂（a_n+1），然后利用裂项相消法求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，并求得T_n的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=3，a_n+1=4a_n+3，
∴a₁=3，a₂=15，a₃=63；
（Ⅱ）∵

an+1+1

an+1

=

4an+3+1

an+1

=4，
∴数列{a_n+1}是公比为4的等比数列．
∴an+1=(a1+1)•4n-1=4n，
∴an=4n-1；
（Ⅲ）∵b_n=log₂（a_n+1）=log24n=2n，
∴

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)，
∵Tn=

1

4

(1-

1

n+1

)是关于n（n∈N^*）的单调递增函数，
∴n=1时，(Tn)min=

1

8

；n→+∞时，T_n→

1

4

．
∴T_n的取值范围是[

1

8

，

1

4

)．

点评：本题考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．