Question

19．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}+c（{a＞0}），g（x）=lnx$，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（{n+1}）+\frac{n}{{2（{n+1}）}}（{n≥1}）$．

Answer 1

分析 （1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c，从而求出函数的解析式即可；
（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）-lnx，问题转化为g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；
（3）由（1）可知a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c=0}\\{f′（1）=a-b=1}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{c=1-2a}\end{array}\right.$，
由a=$\frac{1}{2}$，得b=-$\frac{1}{2}$，c=0，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$；
（2）由（1）知f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a，
令φ（x）=f（x）-g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），
则φ（1）=0，φ′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，
（ i）当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}$＞1．
若1＜x＜$\frac{1-a}{a}$，则φ′（x）＜0，φ（x）是减函数，
所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．
故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．
（ii）当a≥$\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}$≤1．
若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），
故当x≥1时，f（x）≥g（x）．
综上所述，所求a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（3）由（2）知当a≥$\frac{1}{2}$时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．
令a=$\frac{1}{2}$，有f（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx
且当x＞1时，$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）＞lnx．   
令x=$\frac{k+1}{k}$，有ln $\frac{k+1}{k}$＜$\frac{1}{2}$（ $\frac{k+1}{k}$-$\frac{k}{k+1}$）=$\frac{1}{2}$[（1+$\frac{1}{k}$）-（1-$\frac{1}{k+1}$）]
∴ln（k+1）-lnk＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$），k=1，2，3，…，n，
将上述n个不等式依次相加，得ln（n+1）＜$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2（n+1）}$，
整理得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）+$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．