Question

命题“函数y=f（x）的导函数为f′（x）=e^x+

k2

ex

-

1

k

（其中e为自然对数的底数，k为实数），且f（x）在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  2

  2

  ）
• B、（-

  2

  2

  ，0）
• C、（0，

  2

  2

  ）
• D、（

  2

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由已知，说明函数在某些区间上单调，所以导函数为f′（x）=e^x+

k2

ex

-

1

k

=0有两个不等根（其中e为自然对数的底数，k为实数），得到k＞0，并且k（e^x）²-e^x+k³=0有根，利用判别式大于0求得k的范围．

解答： 解：由已知可得函数在某些区间上单调，所以导函数为f′（x）=e^x+

k2

ex

-

1

k

=0有两个不等根（其中e为自然对数的底数，k为实数），
所以k＞0，并且k（e^x）²-e^x+k³=0有不等实根，所以△=1-4k⁴＞0，解得0＜k＜

2

2

；
故选C．

点评：本题考查了真假命题以及利用导数判断函数的单调性，属于中档题．