Question

求关于x的方程x²-（3n+2）x+3n²-74=0（n∈Z）的所有实根之和．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意得，判别式△≥0，解不等式求出n的范围，进而得到整数n的值，再由两根之和，运用等差数列的求和公式，即可得到．

解答： 解：由题意得，判别式△=（3n+2）²-4（3n²-74）=-3n²+12n+300≥0，
即 n²-4n-100≤0，
解得，2（1-

26

）≤n≤2（1+

26

），
又∵n∈Z∴-8≤n≤12，
即有所有实根之和S=∑（

1

2

（3n+2+

△

）+

1

2

（3n+2-

△

）），
=∑（3n+2），
 由于-8≤n≤12，n∈Z，
则所有实根之和S=

1

2

（-24+2+36+2）×21=168．

点评：本题考查二次方程实根的条件和求解，考查等差数列的求和，考查运算能力，属于中档题．