Question

设f（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=g（2-x），且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
（1）求f（x）的表达式．
（2）是否存在正实数a（a＞6），使函数f（x）图象的最高点在直线y=12上？若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由条件得到f（x）=f（-x）=g（2+x），再由当x∈[2，3]时，g（x）的解析式，得到f（x）在[0，1]的表达式，再由偶函数的定义，即可得到f（x）在[-1，0]的表达式；
（2）假设这样的a存在，则由于f（x）是偶函数，不妨设此时x∈[-1，0]，则有f（x）=4x³-2ax，求出导数判断单调性，再求最小值，即可得到a，进而说明存在．

解答： 解：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
由于当x∈[-1，0]时，f（x）=g（2-x），
且f（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，
当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
则f（x）=f（-x）=g（2+x），2+x∈[2，3]，
即有f（x）=2ax-4x³，
当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-2ax+4x³，
所以f（x）=

4x3-2ax，-1≤x≤0 -4x3+2ax，0＜x≤1

；
（2）假设这样的a存在，则由于f（x）是偶函数，
不妨设此时x∈[-1，0]，则有f（x）=4x³-2ax，
f'（x）=12x²-2a=2（6x²-a）
因为6x²≤6＜a，
所以6x²-a＜0，f'（x）＜0，f（x）在[-1，0]递减，
所以f（x）最大值为f（-1）=-4+2a=12，a=8．
所以存在a=8满足f（x）_max=12．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数解析式的求法，同时考查运用导数判断函数的单调性，以及求最值，考查运算能力，属于中档题．