Question

1．已知f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则$g（a+\frac{π}{4}）$=（　　）

• A． $1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得$g（a+\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：∵f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，
得到y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）+1=sin2x+1的图象．
若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=a对称，
再根据g（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，可得$g（a+\frac{π}{4}）$=0，
故选：D．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．