Question

已知函数f（x）=

x-1

x2

，g（x）=(

1

2

)x-m，若?x₁∈[1，3]，对?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），则实属m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像变换

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：?x₁∈[1，3]，对?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_max≥g（x）_min，利用导数可判断f（x）的单调性，由单调性可求得f（x）的最大值；根据g（x）的单调性可求得g（x）的最小值．

解答： 解：?x₁∈[1，3]，对?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_max≥g（x）_min，
∵f（x）=

x-1

x2

=

1

x

-

1

x2

，
∴f′（x）=-

1

x2

+

2

x3

=

2-x

x3

当x∈[1，2]时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，2]上递增，
当x∈（2，3]时，f′（x）＜0，∴f（x）在（2，3]上递减，
∴f（x）_max=f（2）=

1

4

，
由g（x）=(

1

2

)x-m在[-1，1]上递减，得g（x）_min=g（1）=

1

2

-m，
∴

1

4

≥

1

2

-m，
解得m≥

1

4

，
故答案为：[

1

4

，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的最值问题，考查函数恒成立，考查转化思想，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法，属于中档题