题目内容
如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
考点：解三角形的实际应用
专题：解三角形
分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
解答：
解：（1）设CD的长为x米，则tanα=
，tanβ=
，
∵0≤2β≤α＜
，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tanα≥
，
即
≥
=
，
解得0＜x≤20
≈28.28，
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°-α-β=123.43°，
由正弦定理得
=
，
即a=
≈85.06，
∴m=
≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
| x |
| 35 |
| x |
| 80 |
∵0≤2β≤α＜
| π |
| 2 |
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tanα≥
| 2tanβ |
| 1-tan2β |
即
| x |
| 35 |
2•
| ||
1-
|
| 160x |
| 6400-x2 |
解得0＜x≤20
| 2 |
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°-α-β=123.43°，
由正弦定理得
| a |
| sinα |
| AB |
| sin∠ADB |
即a=
| 115sin38.12° |
| sin123.43° |
∴m=
| 802+a2-160acos18.45° |
答：CD的长为26.93米．
点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．
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| C、12 | ||||
D、7
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