Question

10．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题完成与否互不影响．
（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为

X	1	2	3
P	0.2	0.6	0.2

；
（2）记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为E（Y）=2．

Answer 1

分析 （1）由题意知X的可能取值，求出对应的概率，写出X的分布列；
（2）由题意知Y～B（3，$\frac{2}{3}$），求出对应的概率值，写出分布列和数学期望．

解答 解：（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题；
甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，
由题意得X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	0.2	0.6	0.2

（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，
乙能正确完成每道题的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题完成与否互不影响，
由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（Y=0）=${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴Y的分布列为：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

数学期望为E（Y）=0×$\frac{1}{27}$+1×$\frac{6}{27}$+2×$\frac{12}{27}$+3×$\frac{8}{27}$=2．（或E（Y）=3×$\frac{2}{3}$=2）．
故答案为：（1）

X	1	2	3
P	0.2	0.6	0.2

（2）E（Y）=2．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．