Question

已知数列{a_n}满足a₁，（a₂-a₁），（a₃-a₂），…，（a_n-a_n-1），…，此数列是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁，（a₂-a₁），（a₃-a₂），…，（a_n-a_n-1），…，此数列是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
∴an-an-1=(

1

3

)n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

-

1

2×3n-1

．
（2）b_n=（2n-1）a_n=

6n-3

2

-

2n-1

2•3n-1

．
令T_n=1+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

，
则

1

3

Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
∴

2

3

Tn=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=2×

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-1-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

．
∴T_n=3-

n+1

3n-1

．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

3n2-3

2

+

n+1

2•3n-1

．

点评：本题考查了“错位相减法”和等比数列通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．