Question

已知函数f（x）=

2x

x+1

与函数y=g（x）的图象关于直线x=2对称，
（1）求g（x）的表达式；
（2）若Φ（x+2）=

1

Φ(x)

，当x∈（-2，0）时，Φ（x）=g（x），求Φ（2005）的值．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化,函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的对称性即可求g（x）的表达式；
（2）根据条件判断函数Φ（x）是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行求值即可．

解答： 解：（1）设P（x，y）是g（x）上的任意一点，P关于x=2对称的点的坐标为（x′，y′），
则

x+x′ 2 =2 y=y′

，即

x′=4-x y′=y

，
∵y′=f（x′）=

2x′

x′+1

，
∴y=

2(4-x)

4-x+1

=

8-2x

5-x

=

2x-8

x-5

，
故g(x)=

2x-8

x-5

(x≠5)．
（2）∵Φ（x+2）=

1

Φ(x)

，
∴Φ（x+4）=

1

Φ(x+2)

=Φ（x），
即Φ（x）是周期为4的周期函数，
则Φ（2005）=Φ（2004+1）=Φ（1）=Φ（-3）=

1

Φ(-3+2)

=

1

Φ(-1)

=

1

g(-1)

=

1

-2-8 -1-5

=

6

10

=

3

5

，
故Φ(2005)=

3

5

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数值的计算，利用函数对称性是解决本题的关键．根据条件判断函数的周期性是求值的突破．