Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

n

4an

，其前n项和为 T_n，求证：

1

4

≤T_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1；当n≥2时，S_n+1=a_n+1（n∈N^*），S_n-1+1=a_n，两式相减得a_n+1=2a_n，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知an=2n-1，可得b_n=

n

4an

=

n

2n+1

，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，即可得出．

解答： （1）解：当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2；
当n≥2时，S_n+1=a_n+1（n∈N^*），S_n-1+1=a_n，
两式相减得，a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）证明：由（1）知an=2n-1，∴b_n=

n

4an

=

n

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

，
∴T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∵T_n+1-T_n=(1-

3+n

2n+2

)-(1-

2+n

2n+1

)=

n+1

2n+2

＞0，
∴T_n+1＞T_n，
∴T_n是递增的，又T₁=

1

4

，
∴

1

4

≤T_n＜1．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．