Question

已知圆A：x²+y²+2x+2y-2=0，圆B：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0，如果圆B始终平分圆A的周长
（I）求动圆B的圆心的轨迹方程；
（II）当圆B的半径最小时，求圆B的标准方程．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：计算题

分析：（Ⅰ）把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程，由题意知直线l经过圆A的圆心，得 a²+2a+2b+5=0，设动圆B的圆心为（x，y），则x=a，y=b，从而得到圆B的圆心的轨迹方程．
（II）由圆B的方程可得半径为

1+b2

，由（I） a²+2a+2b+5=0，可得b≤-2，因而

1+b2

≥

5

，由此求得此时圆B的方程．

解答： 解：（Ⅰ）把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为2（a+1）x+2（b+1）y-a²-1=0，
由题意知直线l经过圆A的圆心（-1，-1），因而 a²+2a+2b+5=0．
设动圆B的圆心为（x，y），则由圆B的方程：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0可得B（a，b），
即 x=a，y=b，则所求方程为 x²+2x+2y+5=0．
（II） 圆B：（x-a）²+（y-b）²=1+b²，其半径为

1+b2

．
由（I） a²+2a+2b+5=0，即 2b+4=-（a+1）²≤0，
所以b≤-2，因而

1+b2

≥

5

，
此时圆B：（x+1）²+（y+2）²=5．

点评：本题主要考查两圆的位置关系及其判定，求点的轨迹方程以及求圆的标准方程，属于中档题．