Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．若∠BFD=90°，△ABD的面积为4

2

，求p的值及圆F的方程．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出圆F的半径|FA|=

2

p，A到l的距离，利用△ABD的面积为4

2

，求出p的值，即可得到圆F的方程．

解答： 解：由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|=2p，
圆F的半径|FA|=

2

p．…（3分）
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=

2

p．…（6分）
因为△ABD的面积为4

2

，所以

1

2

|BD|•d=4

2

，即

1

2

•2p•

2

p=4

2

，
解得p=-2（舍去），p=2．…（10分）
所以F（0，1），圆F的方程为x²+（y-1）²=8．…（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．