题目内容
某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示．| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 第一组 | [160，165） | 5 | 0.05 |
| 第二组 | [165，170） | 35 | 0.35 |
| 第三组 | [170，175） | 30 | ① |
| 第四组 | [175，180） | ② | 0.2 |
| 第五组 | [180，185） | 10 | 0.1 |
（Ⅱ）现决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）利用频率等于频数乘以组距，能求出①②位置相应的数字，由此能补全频率分布直方图．
（Ⅱ）利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数．
（3）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数．
（3）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）解：由题意知，第3组的频率为
=0.3，
即①位置相应的数字为0.3；
第4组的频数为0.2×100=20人，
即②位置相应的数字为20．
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有30+20+10=60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取12名学生，每组分别为：
第3组：
×12=6人，
第4组：
×12=4人，
第5组：
×12=2人，
所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人进入第二轮的面试．
（Ⅲ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，
P（ξ=3）=
=
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=1．
| 30 |
| 100 |
即①位置相应的数字为0.3；
第4组的频数为0.2×100=20人，
即②位置相应的数字为20．
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有30+20+10=60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取12名学生，每组分别为：
第3组：
| 30 |
| 60 |
第4组：
| 20 |
| 60 |
第5组：
| 10 |
| 60 |
所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人进入第二轮的面试．
（Ⅲ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
| ||||
|
| 14 |
| 55 |
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 28 |
| 55 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 12 |
| 55 |
P（ξ=3）=
| ||||
|
| 1 |
| 55 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 14 |
| 55 |
| 28 |
| 55 |
| 12 |
| 55 |
| 1 |
| 55 |
点评：本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目
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