Question

5．已知x，y∈R，向量α=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$是矩阵A=$[\begin{array}{l}{-1}&{x}\\{y}&{0}\end{array}]$的属于特征值-2的一个特征向量．
（1）求矩阵A以及它的另一个特征值；
（2）求曲线F：9x²-2xy+y²=1在矩阵A对应的变换作用下得到的曲线F′的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知，得Aα=-2α，利用矩阵变换得到$\left\{\begin{array}{l}1+x=2\\-y=-2\end{array}\right.$，求得x，y的值，代入矩阵可得矩阵A的特征多项式，进一步求得另一个特征值；
（2）设P（x₀，y₀）为曲线F上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P'（x₀'，y₀'），由矩阵变换把P的坐标用P′的坐标表示，再由点P在曲线F上得答案．

解答 （1）由已知，得Aα=-2α，即$[{\begin{array}{l}{-1}&x\\ y&0\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{1+x}\\{-y}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}2\\{-2}\end{array}}]$，
即$\left\{\begin{array}{l}1+x=2\\-y=-2\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$．
∴矩阵$A=[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}]$． …（4分）
从而矩阵A的特征多项式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ+1}&{-1}\\{-2}&λ\end{array}}|=（λ-1）（λ+2）$，
则矩阵A的另一个特征值为1；       …（7分）
（2）设P（x₀，y₀）为曲线F上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P'（x₀'，y₀'），
则$[{\begin{array}{l}{{x_0}'}\\{{y_0}'}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}][{\begin{array}{l}{x_0}\\{{y_0}}\end{array}}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}'={y_0}-{x_0}\\{y_0}'=2{x_0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_0}={x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}\\{x_0}=\frac{{{y_0}'}}{2}\end{array}\right.$，…（11分）
又点P在曲线F上，∴$9x_0^2-2{x_0}{y_0}+y_0^2=1$，
故有$9{（\frac{{{y_0}'}}{2}）^2}-2（{x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}）\frac{{{y_0}'}}{2}+{（{x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}）^2}=1$，整理得，${（{x_0}'）^2}+2{（{y_0}'）^2}=1$，
∴曲线F'的方程为x²+2y²=1．    …（14分）

点评 本题考查特殊的矩阵变换，考查了特征向量的意义，关键是对题意的理解，属中档题．