Question

10．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的单调递减区间及对称中心；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，若f（A）=-$\frac{1}{2}$，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算得到f（x）的解析式，再利用降幂公式降幂，结合辅助角公式化简，然后可得f（x）的单调递减区间及对称中心；
（2）由f（A）=-$\frac{1}{2}$求得角A，利用余弦定理结合基本不等式求得bc的最值，则△ABC面积的最大值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}-co{s}^{2}\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}-\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$
=$sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得：4kπ$+\frac{4π}{3}$$≤x≤4kπ+\frac{10π}{3}$，k∈Z．
∴单调递减区间为[$4kπ+\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{10π}{3}$]，k∈Z；
由$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}=kπ$，得$x=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$．
∴f（x）的对称中心为$（2kπ+\frac{π}{3}，-\frac{1}{2}）$（k∈Z）；
（2）由f（A）=-$\frac{1}{2}$，得$sin（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，
即$sin（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=0$，
∵A为三角形内角，
∴$\frac{A}{2}-\frac{π}{6}=0$，得A=$\frac{π}{3}$．
由a²=b²+c²-2bc•cosA，
得$4={b}^{2}+{c}^{2}-2bc×\frac{1}{2}={b}^{2}+{c}^{2}-bc≥bc$．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}bc•sinA=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．