题目内容
17．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．（1）求出直线l的普通方程及抛物线C的直角坐标方程；
（2）设点P（2，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得普通方程．抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：8t2-15t-50=0，利用|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|即可得出．
解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得：4x-3y-8=0．
抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：y2=2x．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入抛物线方程可得：8t2-15t-50=0，
∴t1t2=-$\frac{50}{8}$=$-\frac{25}{4}$．
∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=$\frac{25}{4}$．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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12．设直线$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
| A． | 2 | B． | 1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
2．某5名学生的总成绩与数学成绩如表：
（1）画出散点图；
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
| 学生 | A | B | C | D | E |
| 总成绩（x） | 482 | 383 | 421 | 364 | 362 |
| 数学成绩（y） | 78 | 65 | 71 | 64 | 61 |
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．