题目内容

15．已知集合A={x||x-a|＜4}，B={x|x2-4x-5＞0}
（1）若A∪B=R，求实数a的取值范围．
（2）县否存在实数a，使得A∩B=∅？若存在，则求a的取值范围，否则，说明理由．

分析 由|x-a|＜4，解得A=（a-4，a+4）．由x2-4x-5＞0，B=（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（1）由A∪B=R，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-4＜-1}\\{a+4＞5}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）假设存在实数a，使得A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{a-4≥-1}\\{a+4≤5}\end{array}\right.$，解得a即可判断出结论．

解答 解：由|x-a|＜4，∴-4＜x-a＜4，解得a-4＜x＜a+4，∴A=（a-4，a+4）．
由x2-4x-5＞0，解得x＞5，或x＜-1．∴B=（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（1）∵A∪B=R，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4＜-1}\\{a+4＞5}\end{array}\right.$，解得1＜a＜3．
∴实数a的取值范围是（1，3）．
（2）假设存在实数a，使得A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{a-4≥-1}\\{a+4≤5}\end{array}\right.$，解得a∈∅，
因此假设不成立，∴不存在实数a，使得A∩B=∅．

点评 本题考查了不等式的解法、集合之间的运算关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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