题目内容

20．已知函数f（x）=2x3-9x2+12x+8．求：
（1）函数f（x）的极值；
（2）函数在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

分析 （1）求出函数导数，通过导数为0，求出极值点，判断单调性，然后求解极值点．
（2）求出极值以及端点的函数值，比较即可得到最值．

解答 解：（1）∵f（x）=2x3-9x2+12x+8
∴f'（x）=6x2-18x+12=6（x2-3x+2）=6（x-1）（x-2）
令f'（x）=0得x=1或x=2
由f'（x）＞0得x＜1或x＞2；由f'（x）＜0得1＜x＜2
∴f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减
∴函数f（x）在x=1处有极大值，且极大值为f（1）=13，在x=2处有极小值，且极小值为f（2）=12
（2）由（1）知在区间[-1，3]内的极大值为f（1）=13，极小值为f（2）=12
又f（-1）=-15，f（3）=14
∴函数f（x）在区间[-1，3]内的最大值为14，最小值为-15

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及闭区间上的函数值的求法，考查计算能力．

练习册系列答案
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5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，A是$\widehat{BD}$的中点，AC交BD于点E，过⊙O上点B的切线与CA的延长线交于点F．
（Ⅰ）求证：BE=BF；
（Ⅱ）若BE=5，AF=2，求CE的长．
11．在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2
（1）求证：平面EDC⊥平面BDC；
（2）试判断直线AC与平面EDC所成角和二面角E-CD-A的大小的关系．
8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos2（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当t∈[-2，0]时，求函数g（t）的解析式；
（3）设函数h（x）=2|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中实数k为参数．，满足关于t的不等式$\sqrt{2}$k-5g（t）≤0有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（-∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．
15．（1）已知关于x的不等式3x-|-2x+1|≥a，其解集为[2，+∞），求实数a的值；
（2）若对?x∈[1，2]，x-|x-a|≤1恒成立，求实数a的取值范围．
5．已知x，y∈R，向量α=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$是矩阵A=$[\begin{array}{l}{-1}&{x}\\{y}&{0}\end{array}]$的属于特征值-2的一个特征向量．
（1）求矩阵A以及它的另一个特征值；
（2）求曲线F：9x2-2xy+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到的曲线F′的方程．
12．设直线$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（　　）
A．2B．1C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{3}$
9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
10．已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，g（x）=x2-2x+b，当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）与g（x）有两个交点，求实数b的取值范围；
（3）证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\frac{5}{4^2}+…+\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（?n∈N*）．

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