题目内容
13．设P是曲线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为8x2-4y2=1．分析 由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．
解答 解：曲线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ为参数），即有
$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\sqrt{2}x}\\{tanθ=y}\end{array}\right.$，
由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，
设P（x0，y0），M（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{2x={x}_{0}}\\{2y={y}_{0}}\end{array}\right.$，代入曲线方程，可得
2x02-y02=1，即为2（2x）2-（2y）2=1，
即为8x2-4y2=1．
故答案为：8x2-4y2=1．
点评 本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．
1．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P-DE-F的余弦值．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P-DE-F的余弦值．
如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，F是AD的中点．
2．某5名学生的总成绩与数学成绩如表：
（1）画出散点图；
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
| 学生 | A | B | C | D | E |
| 总成绩（x） | 482 | 383 | 421 | 364 | 362 |
| 数学成绩（y） | 78 | 65 | 71 | 64 | 61 |
（2）求数学成绩对总成绩的回归方程；
（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩（参考数据：4822+3832+4212+3642+3622=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．