题目内容
△ABC中，角A、B、C对边分别是a，b，c，且满足2
•
=（a+c+b）（a+c-b）．
（1）求角B的大小；
（2）求2
cos2
-sin（
-A）的最大值，并求取得最大值时角A，C的大小．
| AB |
| BC |
（1）求角B的大小；
（2）求2
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）根据数量积的定义，结合余弦定理即可求角B的大小；
（2）利用三角函数的倍角公式，利用三角函数的性质即可得到结论．
（2）利用三角函数的倍角公式，利用三角函数的性质即可得到结论．
解答：
解：（1）∵2
•
=（a+c+b）（a+c-b）．
∴2accos（π-B）=（a+c）2-b2，
即-2accosB=a2+c2-b2+2ac，
∵b2=a2+c2-2accos?B，
∴a2+c2-b2=2accosB，
∴-2accosB=2accosB+2ac，
即-4cosB=2，
∴cosB=-
，即B=
．
（2）2
cos2
-sin（
-A）=
(1+cos?C)-sin?[
-(
-C)]=
(1+cos?C)-sin?(π+C)=
+
cosC+sinC=
+2cos(C-
)，
∵B=
，
∴0＜C＜
，
-
＜C-
＜
，
∴当C-
=0，即C=
时，2
cos2
-sin（
-A）取得最大值
+2．
此时A=
-
=
．
| AB |
| BC |
∴2accos（π-B）=（a+c）2-b2，
即-2accosB=a2+c2-b2+2ac，
∵b2=a2+c2-2accos?B，
∴a2+c2-b2=2accosB，
∴-2accosB=2accosB+2ac，
即-4cosB=2，
∴cosB=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（2）2
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵B=
| 2π |
| 3 |
∴0＜C＜
| π |
| 3 |
-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴当C-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
此时A=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及三角函数的化简和性质，考查学生的计算能力．
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