Question

9．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC为边长等于3的正三角形，D、M为AB、PB中点，且△PAM为正三角形．
（1）求证：平面DMC⊥平面PAB；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明DM⊥平面ABC，即可证明平面DMC⊥平面PAB；
（2）利用等体积求点A到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：∵D、M为AB、PB中点，
∴DM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC，
∵DM?平面DMC，
∴平面DMC⊥平面PAB；
（2）解：∵△PAM为正三角形，底面ABC为边长等于3的正三角形，
∴PA=$\sqrt{3}$，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}$，BC=3，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{12-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$
设点A到平面PBC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{39}}{4}h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查点到平面距离的计算，属于中档题．