Question

18．已知点A（1，-2，2），B（2，-2，-1），C（6，5，2），O为坐标原点，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{65}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{65}}{6}$
• D． $\frac{65}{6}$

Answer 1

分析 使用向量求出△ABC的面积，O到平面ABC的距离，代入体积公式计算．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=（1，0，-3），$\overrightarrow{AC}$=（5，7，0），∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=5．|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{74}$．
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{5}{\sqrt{740}}$．∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{715}}{\sqrt{740}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{715}}{2}$．
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$（x，y，z），则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3z=0}\\{5x+7y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\frac{15}{7}$，1）．∴|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{715}}{7}$．
$\overrightarrow{OA}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}$=$\frac{65}{7}$．
∴点O到平面ABC的距离d=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{65}{\sqrt{715}}$．
∴V=$\frac{1}{3}$•S_△BCD•d=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{715}}{2}$×$\frac{65}{\sqrt{715}}$=$\frac{65}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量在立体几何中的应用，求出棱锥的高是关键，属于中档题．