Question

定义域为R的函数f（x）对于任意的x都存在实数a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，则称f（x）为“希望函数”．
（1）判断函数f（x）=e

x

2

是否为“希望函数”；
（2）若函数f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函数”，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）由新定义，只要判断方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab有没有实数解，可由y=e

x

2

-x的最值，通过导数，求出单调区间，得到极值和最值，即可判断；
（2）由新定义，可得k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即为k²•e^a+b=ab有解，求出y=e^x-x-1的最小值，得到e^x≥x+1＞x，运用不等式的性质，可得ab≥k²•ab，由ab＞0，解不等式即可得到k的范围．

解答： 解：（1）由于f（a+x）f（b-x）=e

a+x

2

•e

b-x

2

=e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

，
由于y=e

x

2

-x的导数y′=

1

2

e

x

2

-1，当x＞2ln2时，y′＞0，函数y递增；
当x＜2ln2时，y′＜0，函数y递减．
则函数y=e

x

2

是在x=2ln2处取得极小值，也为最小值，且为2-2ln2＞0，
即有e

x

2

＞x恒成立，则e

a

2

＞a，e

b

2

＞b，
则方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab无实数解，
故函数f（x）=e

x

2

不为“希望函数”；
（2）f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函数”，则
对于任意的x都存在实数a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，
即为k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即为k²•e^a+b=ab有解，
由于y=e^x-x-1的导数为y′=e^x-1，当x＞0时，y′＞0，函数y递增；
当x＜0时，y′＜0，函数y递减．
则函数y在x=0处取得极小值，也为最小值，且为0．
即有e^x≥x+1＞x，则有k²•e^ae^b≥k²•ab，
则有ab≥k²•ab，由ab＞0，即为k²≤1，
解得，-1≤k≤1．
则实数k的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的导数的运用：求极值和最值，考查函数与方程的关系，考查运算能力，属于中档题．