Question

已知a_n+1=a_n²-na_n+1，a₁=3．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证：a_n≥n+2．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，分别取n=1，n=2，利用递推思想能求出a₂，a₃的值．
（2）利用数学归纳法首先验证n=1时，不等式成立，再假设n=k（k∈N^*）时，a_k≥k+2，由此推导出n=k+1时，结论成立，由此能证明a_n≥n+2．

解答： （1）解：∵a_n+1=a_n²-na_n+1，a₁=3，
∴a₂=9-3+1=7，
a₃=49-14+1=36．…（4分）
（2）证明：①n=1时，3=1+2成立
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k≥k+2，
n=k+1时，a_k+1=ak2-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1，
∵a_k≥k+2＞0，a_k-k≥0，
∴a_k（a_k-k）≥2（k+2），
∴a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥2（k+2）+1
=（k+1）+2+k+1
＞k+1+2，
∴n=k+1时结论成立．
综上：由①②知：a_n≥n+2．…（10分）

点评：本题考查数列中第2项和第3项的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．