Question

已知函数f（x）=x³+x²+|x-a|．（a是常数，且a≤

1

3

）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当-2≤x≤1时，f（x）的最小值为g（a），求证：对任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）去绝对值，通过求导，判断导数符号从而判断f（x）的单调性，并最后得出：a≤-1时，f（x）在R上是增函数；-1＜a≤

1

3

时，f（x）在（-∞，-1），[a，+∞）上是增函数，在（-1，a）上是减函数；
（Ⅱ）根据上面的结论，分别求在a≤-1，-1＜a≤

1

3

时的最小值g（a），和最大值，只要证明g（a）+9大于等于f（x）的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）①当x≥a时，f（x）=x³+x²+x-a，f′（x）=3x²+2x+1＞0；
∴此时f（x）是增函数；
②当x＜a时，f（x）=x³+x²-x+a，f′（x）=3x²+2x-1；
解3x²+2x-1=0得，x=-1，或

1

3

；
∴x＜-1，或x＞

1

3

时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数；
-1＜x＜

1

3

时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
∴当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
当-1＜a≤

1

3

时，f（x）在（-∞，-1），[a，+∞）上是增函数，在[-1，a）上是减函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）当a≤-1时，f（x）在[-2，1]上是增函数；
∴g（a）=f（-2）=|a+2|-4；
最大值为f（1）=2+|1-a|=3-a；
①当-2＜a≤-1时，a+2＞0，2a+4＞0；
∴g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=a+7-3+a=2a+4＞0；
∴对任意x∈[-2，1]，f（x）＜g（a）+9；
②当a≤-2时，a+2≤0；
g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=-a+3-3+a=0；
∴对任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9；
（2）当-1＜a≤

1

3

时，f（x）在[-2，-1]，[a，1]上是增函数，在[-1，a]上是减函数；
f（a）-f（-2）=a³+a²+2-a=a²（a+1）+（2-a）＞0；
f（1）-f（-1）=3-a-1-a=2-2a=2（1-a）＞0；
∴g（a）=a-2，最大值为f（1）=3-a；
∴g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=a+7-3+a=2（a+2）＞0；
∴对任意x∈[-2，1]，f（x）＜g（a）+9；
由（1）（2）知对任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．

点评：考查处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，根据函数的单调性求函数的最值．