Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4

2

ρcos（θ-

π

4

）+6=0，求：
（Ⅰ）曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²-4

2

ρcos（θ-

π

4

）+6=0，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出．
（II）设

x-2

2

=cosθ，

y-2

2

=sinθ，可得xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．设t=cosθ+sinθ，则t=

2

sin(θ+

π

4

)，t∈[-

2

，

2

]，可得xy=3+2

2

t+t²=(t-

2

)2+1．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）原方程可化为ρ²-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，即ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0．
把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得x²+y²-4x-4y+6=0，
即（x-2）²+（y-2）²=2，此方程即为所求普通方程．
（II）设

x-2

2

=cosθ，

y-2

2

=sinθ，
则xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．
设t=cosθ+sinθ，则t=

2

sin(θ+

π

4

)，∴t∈[-

2

，

2

]，
t²=1+2cosθsinθ，从而2cosθsinθ=t²-1．
∴xy=3+2

2

t+t²=(t-

2

)2+1．
当t=-

2

时，xy取得最小值1；当t=

2

时，xy取得最大值9．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、圆的方程、三角函数代换、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．