Question

函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x，y＞0满足f（x+y）=xf（y）+yf（x）+2xy，则f（n）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：探究型

分析：根据题意令x=n-1，y=1（n≥2）代入式子得，f（n）=（n-1）f（1）+f（n-1）+2（n-1），化简得f（n）-f（n-1）=3（n-1），利用累加法求出f（n）．

解答： 解：由题意得，f（1）=1，
令x=n-1，y=1（n≥2）代入f（x+y）=xf（y）+yf（x）+2xy，
f（n）=（n-1）f（1）+f（n-1）+2（n-1），
则f（n）-f（n-1）=3（n-1），
所以f（2）-f（1）=3×1，
f（3）-f（2）=3×2，
f（4）-f（3）=3×3，
…
f（n）-f（n-1）=3（n-1），
以上（n-1）个式子相加得，
f（n）-f（1）=3[1+2+3+…+（n-1）]=3×

(n-1)n

2

，
化简得，f（n）=

1

2

(3n2-3n+2)，
故答案为：

1

2

(3n2-3n+2)．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，主要根根据条件和结论，给变量适当的值代入式子化简，即赋值法，还考查了累加法的应用．