Question

已知函数f（x）=sinx-sin（x+

π

3

）．
（Ⅰ）求f（

4π

3

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用函数的解析式，直接求f（

4π

3

）的值即可；
（Ⅱ）通过两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间在求解f（x）的单调递增区间．

解答： （13分）
解：（Ⅰ）f(

4π

3

)=sin

4π

3

-sin(

4π

3

+

π

3

)=0．…（3分）
（Ⅱ）f(x)=sinx-sin(x+

π

3

)=sinx-(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)…（5分）
=sinx-(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin(x-

π

3

)．…（9分）
函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，…（11分）
得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)．
所以 f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)．…（13分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力．