Question

16．（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a-1）²+（b+2）²+（c-3）²的最小值．
（2）请用数学归纳法证明：（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）使用柯西不等式证明；
（2）先验证n=2成立，假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．

解答 解：（1）由柯西不等式得：
（4+4+1）×[（a-1）²+（b+2）²+（c-3）²]≥[2（a-1）+2（b+2）+c-3]²，
∴9[（a-1）²+（b+2）²+（c-3）²]≥（2a+2b+c-1）²．
∵2a+2b+c=8，∴（a-1）²+（b+2）²+（c-3）²≥$\frac{49}{9}$，
∴（a-1）²+（b+2）²+（c-3）²的最小值是$\frac{49}{9}$．
（2）证明：①当n=2时，左边=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，右边=$\frac{2+1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$，所以等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N₊）时，等式成立，
即  （1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$（k≥2，k∈N₊）．
当n=k+1时，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）
=$\frac{k+1}{2k}$•$\frac{{k}^{2}+2k}{（k+1）^{2}}$=$\frac{k+2}{2（k+1）}$=$\frac{（k+1）+1}{2（k+1）}$，
∴当n=k+1时，等式成立．
∴对n≥2，n∈N₊时，等式成立．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，属于归纳法证明，属于中档题．