Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （a+b+c）（a+b-c）=3ab
（1）求角C；
（2）若边c=2，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得a²+b²-c²=ab，再利用余弦定理即可得出．
（2）${S_△}_{ABC}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，ab=2，又c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，可得a+b，即可得出．

解答 解：（1）由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，
得a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，所以$C=\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）∵${S_△}_{ABC}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴ab=2，
又c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
所以（a+b）²=c²+3ab=10，$a+b=\sqrt{10}$，
所以△ABC的周长为$2+\sqrt{10}$…（12分）

点评 本题考查了余弦定理三角形面积计算公式、三角形周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．