Question

1．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{30}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$

Answer 1

分析 取DB中点O，连接CO、AO，过E作EH∥CO交DB于H，则有EH⊥面ADB．H为OB中点，连接AH，则∠EAH就是直线AE与平面ABD所成的角；在Rt△AHE中可求得直线AE与平面ABD所成角的余弦

解答 解：如图所示，取DB中点O，连接CO、AO，
∵四边形ABCD为正方形，∴CO⊥DB．
又∵面DCB⊥面ADB，∴CO⊥面ABD，
过E作EH∥CO交DB于H，则有EH⊥面ADB．H为OB中点，
连接AH，则∠EAH就是直线AE与平面ABD所成的角．
设正方形ABCD的边长为2，则EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AH=$\sqrt{A{O}^{2}+O{H}^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴$AE=\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}=\sqrt{3}$，
cos∠EAH=$\frac{AH}{AE}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，∴直线AE与平面ABD所成角的余弦为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面角的求解，考查了转化思想，属于中档题．