Question

4．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已QUOTE 知$2\sqrt{3}si{n^2}\frac{A+B}{2}-sinC=\sqrt{3}$
（ I）求角C的大小；
（ II）若$c=\sqrt{3}，a=\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （ I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos（C+$\frac{π}{6}$）=0，由余弦函数的性质，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（II）由余弦定理可得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（ I）∵$2\sqrt{3}si{n^2}\frac{A+B}{2}-sinC=\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$（1+cosC）-sinC=$\sqrt{3}$，可得：2cos（C+$\frac{π}{6}$）=0，
∴C+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）∵C=$\frac{π}{3}$，$c=\sqrt{3}，a=\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：3=2+b²-2$\sqrt{2}$×b×$\frac{1}{2}$，整理可得：b²-$\sqrt{2}b$-1=0，解得：b=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．