Question

12．（1）某简单几何体的三视图中，正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的直角边长为1的等腰直角三角形，求该几何体的表面积和体积；
（2）三棱锥O-ABC中，OB=AC=5，OA=BC=$\sqrt{41}$，AB=OC=$\sqrt{34}$，求该三棱锥的外接球体的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知，直观图的底面是等腰直角三角形，侧棱垂直底面，利用所给数据，求该几何体的表面积和体积；
（2）构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，$\sqrt{41}$，$\sqrt{34}$，则长方体的对角线长等于三棱锥O-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥O-ABC外接球的表面积和体积．

解答 解：（1）由三视图可知，直观图的底面是等腰直角三角形，侧棱垂直底面，
S=3×$\frac{1}{2}×1×1$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，---------------（2分）
V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$-------------------------（4分）
（2）构造长方体，使得面上的对角线长分别为5，$\sqrt{41}$，$\sqrt{34}$，
则长方体的对角线长等于三棱锥O-ABC外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=25，y²+z²=41，x²+z²=34，
∴x²+y²+z²=50
∴三棱锥O-ABC外接球的直径为5$\sqrt{2}$，
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为π•50=50π------------------（6分）
V=$\frac{4}{3}π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{125}{3}\sqrt{2}π$----------------（8分）

点评 本题考查球内接多面体，考查三视图，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．