Question

13．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长都是1，则点P到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 判断三棱锥是正三棱锥，要求点P到平面ABC的距离，可根据等体积求解，即V_A-PBC=V_P-ABC，根据正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得．

解答 解：设点P到平面ABC的距离为h，
∵三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，所以三棱锥是正三棱锥，
∴AB=BC=AC=$\sqrt{2}$，∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据V_A-PBC=V_P-ABC，可得$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1³=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×h，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即点P到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题以正三棱锥为载体，考查点面距离，解题的关键根据等体积求解，即V_A-PBC=V_P-ABC．