Question

已知数列{a_n}是以2为首项、1为公差的等差数列，数列{b_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，若c_n=a_nb_n（n∈N^*），当c₁+c₂+…+c_n＞2015时，n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用等差数列与等比数列的通项公式可求得a_n=n+1，b_n=2^n-1，于是c_n=a_nb_n=（n+1）•2^n-1，利用错位相减法可求得{c_n}的前n项和，从而可得答案．

解答： 解：∵a_n=2+（n-1）×1=n+1，b_n=2^n-1，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2×1+3×2+4×2²+5×2³+…+（n+1）×2^n-1，
∴2T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
∴-T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ
=2+（2+2²+2³+…+2^n-1）-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ，
=-n•2ⁿ，
∴c₁+c₂+…+c_n=n•2ⁿ，
由n•2ⁿ＞2015得：8•2⁸=2¹¹=2024＞2015，
∴n的最小值为8．
故答案为：8．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，着重考查错位相减法的应用，属于中档题．